Математическая логика, общая информация

Алгебра высказывания — это учение о высказываниях, относящееся к первой из формальных логических теорий. Является основной предмета математическая логика или сокращённо — мат логика. Для примера возьмём следующее рассуждение: «Люди эпохи средневековья боялись болезней. Некоторые современные люди также боятся болезней. Следовательно некоторые современные люди относятся к людям из эпохи средневековья». Предложенное рассуждение неверно, даже несмотря на то, что составные части импликации: посылки и следствия — и сделанное из них рассуждение можно признать истинными. Математическая логика очень часто прибегает к использованию импликаций, то есть выражений, содержащих посылку и следствие или заключение. При анализе любого рассуждения следует различать два их различных типа: дедуктивные или достоверные рассуждения и правдоподобные или вероятностные.

Те заключения, которые получены методом дедуктивного рассуждения, являются достоверными и носят необходимый характер. В свою очередь, результаты правдоподобных рассуждений считаются гипотетическими, т.е. верными лишь с некоторой степенью вероятности. Истинное утверждение во всех случаях обеспечивает истинность заключения при соблюдении условия истинности посылки. К наиболее характерной черте дедуктивных или истинных рассуждений относят формальных характер, т.е. от структуры, логической формы посылок и заключения зависит правильность такого рассуждения. Посылки и заключения — это предположения или высказывания, содержащие в себе какую-либо информацию о предметах, явлениях, состоянии этих предметов или явлений. Такие предположения могут быть признаны либо ложными, либо истинными. В классической логике (в том числе в математической логике) высказывание называется истинным, когда оно соответствует описанным посылкам и заключениям, т.е. описанному положению дел, иначе высказывание признается ложным. Аристотель впервые использовал то обстоятельство, что даже проводя рассуждения на различных языках, люди применяют некоторые стандартные общепринятые способы записи, т.е. хранения, и преобразования информации этих рассуждений. Он разделял четыре стандартные формы категорических утверждений:

1. «Все S суть P» — общеутвердительное высказывание. Например, «все чайки — птицы».
2. «Некоторые S суть P» — частично-утвердительное высказывание, например, «некоторые чайки — морские».
3. «Все S не суть P» — общеотрицательное высказывание. Пример: «Все чайки — не растения».
4. «Некоторые S не суть P» — частично-отрицательное высказывание, к примеру, «некоторые люди не боятся высоты».

Именно Аристотель разработал теорию рассуждений, в которой посылки и следствия (заключения) формулируются именно в виде вышеперечисленных категорических рассуждений. С развитием логики стали проводиться исследования способов рассуждений, требующих более сложной структуры высказываний. Формальной логика называется потому, что она, отвлекаясь от конкретного содержаний человеческих рассуждений, изучает лишь их формы.